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matlab学习3

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matlab矩阵处理

通用的特殊矩阵

zeros函数:产生全0矩阵

调用格式;

zeros(m) ;产生m*m的零矩阵

zeros(m,n) ;产生m*n的零矩阵

zeros(size(A)) :产生与矩阵A同样大小的零矩阵

ones函数:产生全1矩阵

eye函数:产生对角线为1的矩阵。当矩阵为方阵时,得到一个单位矩阵

rand函数:产生(0,1)区间均匀分布的随机数

randn函数:产生均值为0,方差为1的表中正太分布的随机矩阵

 

产生[a,b]区间上均匀分布的随机整数 x=rand(1); fix(a+(b-a+1)*x)

u+ax:得到均值为u、方差为a^2的标准正太分布随机数x

构造一个5阶两位随机整数矩阵A

 A=fix(10+(99-10+1)*rand(5));

构造均值为0.6、方差为0.1的5阶正太分布随机矩阵B

 B=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)

 

魔方矩阵

n阶魔方阵由1,2,3、、、n^2共n^2个整数组成,且每行、每列以及主、副对角戏上各n个元素之和都相等

n阶魔方阵每行元素之和为1+2+3+-----+n^2=(n+n^3)/2

matlab函数magic(n)产生一个特定的魔方阵

范德蒙矩阵

函数vander(V生成以向量V为基础的范德蒙矩阵

希尔伯特矩阵

H(i,j)=1/(i+j-1)。

在matlab中,生成n阶希尔伯特矩阵的函数时hilb(n)

伴随矩阵

生成多项式x^3-2x^2-5x+6的伴随矩阵(伴随矩阵的特征值是原方程的根)

P=[1,-2,-5,6]

A=compan(P)

 

帕斯卡矩阵

Pascal矩阵的第一行元素和第一列元素都为1,其余位置处的元素是该元素的左边元素加上同列中上一行的元素。例如:a(i,j)=a(i,j-1)+a(i-1,j)

利用pascal函数创建

求证P矩阵的逆矩阵所有元素也为整数

矩阵变换

对角阵

对角矩阵:只有对角戏上有非零元素的矩阵

数量矩阵:对角线上元素相等的对角矩阵

单位矩阵:对角戏上的元素都为1的对角矩阵

提取矩阵的对角戏元素:

diag(A) :提取矩阵A主对角线元素,产生一个列向量

diag(A,k) :提取矩阵A第k条对角戏的元素,产生一个列向量

(主对角戏上为+1,下为-1)

构造对角矩阵

diag(V) :以向量V为主对角戏元素,产生对角矩阵

diag(V,k) ;以向量V为第k条对角戏元素,产生对角矩阵

左行右列

三角阵

上三角阵

triu(A) ;提取矩阵A的主对角戏及以上的元素

triu(A,k) ;提取矩阵A的第k条对角戏及以上的元素

 

下三角阵

tril()函数,其他与上三角类似

 

矩阵的翻转

rot90(A,k) :将矩阵A逆时针方向旋转90度的k倍,k=1时可以省略。

fliplr(A); 对矩阵A实施左右翻转

flipud(A) :对矩阵实施上下翻转

 

矩阵的求逆

A、B为同阶方阵,且AB=BA=I(I为单位矩阵),则称B、A为互逆矩阵

inv(A) ;求方阵A的逆矩阵

矩阵求值

方阵的行列式

det(A) :求方阵A所对应的行列式的值。

rank(A) 求矩阵A的秩。

 #### 矩阵的迹

对角线元素之和,也等于特征值之和

trace(A) ;求矩阵A的迹

向量和矩阵的范数

矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度,

  1. 向量3种常用范数

    1. 向量一范数:向量元素的绝对值之和 norm(V,1)

    2. 向量二范数:向量元素平方和的平方根 norm(V)或norm(V,2) :计算向量V的2一范数

    3. 向量∞范数:所有向量元素绝对值中的最大值 norm(V,inf)

  2. 矩阵也有三种范数,求解方法与向量的相同

 

矩阵的条件数

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积

条件数约接近于1,矩阵的性能越好,反之性能越差

计算矩阵A的3种条件数函数

 1. cond(A,1)    ;计算A的1-范数的条件数
 2. cond(A)或cond(A,2)
 3. cond(A,inf)

矩阵的特征值和特征向量

设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非零向量x,使关系式

……(1)成立那么,这样的数λ称为矩阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量,

函数调用:

E=eig(A) ;求矩阵A的全部特征值,构成向量E。

[X,D]=eig(A) :求矩阵A的全部特征值,构成对角阵D,并产生矩阵X,X的各列是相应的特征向量。

稀疏矩阵

矩阵的存储方式

完全存储方式

稀疏存储方式:只存储矩阵的非零元素的值及其位置,

  1. 完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化

    A=sparse(eye(5))

  2. 直接建立稀疏存储矩阵

  3. 带状稀疏矩阵的稀疏存储

    spdiags()函数 用法:

B的每一列表示对角线的值,d为对应的对角线的序号(下面这个衔接上个写)

  1. 单位矩阵的稀疏存储

    speye(m,n)返回一个m*n的稀疏存储单位矩阵

     


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